Przekształcenie Laplace'a jako ciekawe narzędzie inżynierskie

Witajcie, w tym artykule chciałbym podjąć temat jakim jest przekształcenie Laplace'a. Pierre Simon de Laplace (ur. 23 marca1749 w Beaumont-en-Auge, zm. 5 marca1827 w Paryżu) – francuski matematyk, astronom, geodeta i fizyk, jeden z twórców teorii prawdopodobieństwa, zwolennik subiektywnej interpretacji prawdopodobieństwa, na podstawie której dokonał m.in. obliczeń masy Saturna, które odbiegają od współcześnie uznanej wartości o mniej niż 1%.

Czym jest owe przekształcenie słynnego matematyka i do czego się je stosuje ?

Teraz przejdę do rzeczy, a więc gdy mamy do czynienia z układem opisanym równaniem różniczkowym i potrzebujemy odpowiedzieć na pytania czy układ jest stabilny po podaniu na jego wejście skoku jednostkowego ( {H(t) = 0 dla t < 0 ; H(t) = 1 dla t >= 0}), jaki jest to rodzaj układu lub czy występują jakieś oscylacje w trakcie narastania oraz wiele innych ciekawych zagadnień (to wszystko w dalszej części artykułu), użyjemy do tego przekształcenia Laplace'a.

Jak wykonać owe przekształcenie ?

- Pierwszym krokiem jest uszeregowanie naszego równania tak aby nasze zmienne y(t) były po jego lewej stronie a pozostałe wyrazy po prawej.

- Następnie za stopień naszej różniczki oraz parametr 't', podstawiamy oznaczenie 's':

- Kolejnym krokiem jest wyłączenie parametru 'y(s)' przed nawias:

- Na końcu parametry 'y(s)' zostawiamy po lewej stronie równania, a całość przerzucamy na prawą stronę równania i finalnie otrzymujemy postać:

- Aby doprecyzować formalny zapis 'y(s)' zamieniamy na 'G(s)' i otrzymujemy gotową transformatę Laplace'a.

Gdy mamy już wyznaczą naszą transformatę układu, możemy zająć się analizą i badaniem jak będzie się zachowywać podany układ w praktyce, w tym celu użyjemy przydatnego narzędzia jakim jest środowisko 'matlab' firmy 'mathworks'. (https://www.mathworks.com/products/matlab.html)

- Sprawdzamy jaka jest odpowiedź układu na skok jednostkowy:

W tym celu piszemy w naszym mPliku (Pliki z rozszerzeniem .m w środowisku matlab przechowują nasze skrypty)

Następnie generujemy wykres naszej funkcji i badamy jego parametry:

Podczas analizy naszej charakterystyki po podaniu na wejście skoku jednostkowego możemy dojść do wniosku iż układ wzrasta jednostajnie stabilnie, jego wzmocnienie czyli poziom na którym się stabilizuje wynosi 0.5. Widzimy również, że styczna która została poprowadzona do wykresu funkcji przecina się z naszym wzmocnieniem w punkcie (0.5,0.5) co z rzutowałem na oś 'x' czyli 'Time (seconds)' więc stała czasowa naszego układu wynosi 0.5 sekundy. Zielona oraz bordowa przerywana linia rzutuje nam 90% oraz 10% maksymalnego wzmocnienia, odległość między nimi definiuje nam czas narastania, czyli jak szybko nasz układ zbliża się do swojego punktu na którym się stabilizuje, w powyższym przypadku widzimy, że jest to około (1.2 - 0.2 = 1) 1 sec.

Aby poprawnie określić rodzaj układu którym się zajmujemy nie możemy ograniczać się do pobudzenia go tylko skokiem jednostkowym. Zupełnie inną odpowiedź na wyjściu uzyskamy gdy układ na wejście przyjmie tzw 'deltę Diraca', jest to inaczej wyidealizowany impuls którego pole powierzchni wynosi 1:

Po podaniu go na wejście otrzymamy odpowiedź impulsową, gdzie będziemy badać czas opadania naszej charakterystyki.

- Zaczynamy od dopisania do naszego skryptu funkcji która wygeneruje nam odpowiedź impulsową naszego układu:

- Generujemy charakterystykę:

Analizując powyższą odpowiedź impulsową widzimy, że czas opadania również wynosi około 1 (tak samo jak czas narastanie przy odpowiedzi skokowej) stąd też możemy wnioskować że mamy do czynienia z układem inercyjnym.

Jako, że żyjemy w 21 wieku i mamy do dyspozycji specjalistyczne środowiska, możemy również w szybki sposób sprecyzować i sprawdzić nasze rozważania.

Do powyższego kodu dodamy funkcje 'stepinfo' i odczytamy z dokładnością do czterech cyfr po przecinku jakie wartości mają nasze parametry.

Widzimy, że powyższe rozważania oraz obliczenia pokrywają się z tym co wyświetla nam komputer jednak z wykresów nie jesteśmy wstanie dojść do takiej precyzji - jest na to pewna rada.

Pewne parametry możemy obliczyć algebraicznie, mowa tutaj o stałej czasowej oraz wzmocnieniu jakim charakteryzuje się układ, wróćmy do naszej transformaty:

Aby obliczyć algebraicznie stałą czasową oraz wzmocnienie musimy zrobić pewne przekształcenie tj. w mianowniku naszego ułamka wyrazem wolnym (w tym przypadku jest to 2) musi być cyfra '1', wtedy współczynnik kierunkowy, który będzie stał przy 's' określi nam naszą stałą czasową, a licznik ułamka wykaże nam jaka jest wartość wzmocnienia układu, zatem podzielmy cały ułamek przez '2'

Widzimy, że stała czasowa = 1/2 (tak samo jak w przypadku wykresów), oraz wzmocnienie = 1/2 (tak samo jak w przypadku wykresów).

Na koniec, tego artykułu dokonamy rozkładu naszej transformaty na zera i bieguny. Jest to nic innego jak tam gdzie mamy 'nie wiadome' (w powyższym przypadku mianownik) przyrównujemy do zera tj.:

Po przekształceniu naszego prostego równania widzimy, że nasz biegun jest równy -2, takiego samego rozkładu oraz zobrazowanie tego na osi rzędnych oraz odciętych możemy dokonać po przez funkcję 'pzmap' w środowisku 'matlab', zatem rozszerzmy kod o nowe algorytmy:

* - Biegun o wartości - 2

Widzimy, iż nasz biegun po rozkładzie znajduje się po lewej stroni osi liczb rzeczywistych to oznacza, że układ jest stabilny, bazując o kryterium stabilności.

Podsumowując powyższy wpis, można dojść do wniosku jakim przydatnym narzędziem może być przekształcenie Laplace'a i jak wiele parametrów możemy ustalić dzięki niemu, Pozdrawiam.

Źródła:

https://pl.wikipedia.org/wiki/Pierre_Simon_de_Laplace